Урок №7. Логические высказывания.
Алгебра в широком смысле этого слова — это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами. Многие математические объекты (целые и рациональные числа, многочлены, векторы, множества) вы изучаете в школьном курсе алгебры, где знакомитесь с такими разделами математики, как алгебра чисел, алгебра многочленов, алгебра множеств и т. д.
Для информатики важен раздел математики, называемый алгеброй логики; объектами алгебры логики являются высказывания.
Высказывание — это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.
Например, относительно предложений «Великий русский учёный М. В. Ломоносов родился в 1711 году» и «Two plus six is eight» можно однозначно сказать, что они истинны. Предложение «Зимой воробьи впадают в спячку» ложно. Следовательно, эти предложения являются высказываниями.
В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием.
Например, предложение «Это предложение является ложным» не является высказыванием, так как относительно него нельзя сказать, истинно оно или ложно, без того чтобы не получить противоречие. Действительно, если принять, что предложение истинно, то это противоречит сказанному. Если же принять, что предложение ложно, то отсюда следует, что оно истинно.
Относительно предложения «Компьютерная графика — самая интересная тема в курсе школьной информатики» также нельзя однозначно сказать, истинно оно или ложно. Подумайте сами почему.
Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.
Например, не являются высказываниями такие предложения, как «Запишите домашнее задание», «Как пройти в библиотеку?», «Кто к нам пришёл!».
Высказывания могут строиться с использованием знаков различных формальных языков — математики, физики, химии и т.д.
Примерами высказываний могут служить:
- «Na — металл» (истинное высказывание);
- «Второй закон Ньютона выражается формулой F = m • а» (истинное высказывание);
- «Периметр прямоугольника с длинами сторон а и b равен а • b» (ложное высказывание).
Не являются высказываниями числовые выражения, но из двух числовых выражений можно составить высказывание, соединив их знаками равенства или неравенства. Например:
- «3 + 5 = 2 • 4» (истинное высказывание);
- «II + VI > VIII» (ложное высказывание).
Не являются высказываниями и равенства или неравенства, содержащие переменные (предложения с переменными). Например, предложение «X < 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» — истинное высказывание; «12 < 12» — ложное высказывание. Такие предложения с переменными иначе называют высказывательными формами.
Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные заменяются конкретными значениями.
Множество тех значений переменной, при которых получаются истинные высказывания, называют областью истинности высказывательной формы (предложения с переменной).
Все рассмотренные выше высказывания либо отражали отношения между двумя объектами, либо описывали некоторое свойство объекта. Такие высказывания называют простыми или элементарными.
Так, высказывание «Na — металл» описывает свойство («металл») объекта («Na»); высказывание «3 + 5 = 2 • 4» отражает отношение (« = ») между двумя объектами («3 + 5», «2 • 4»).
Из простых высказываний с помощью логических связок НЕ, И, ИЛИ можно строить составные высказывания.
Рассмотрим использование каждой логической связки отдельно.
Составное высказывание со связкой НЕ содержит одно простое высказывание. Составное высказывание со связкой НЕ истинно, если содержащееся в нём простое высказывание ложно.
Например, простое высказывание «Число 5 является чётным» ложно; составное высказывание «Число 5 НЕ является чётным» истинно.
Составное высказывание со связкой НЕ ложно, если содержащееся в нём простое высказывание истинно. Например, простое высказывание «Последняя буква в слове “логика” является гласной» истинно; составное высказывание «Последняя буква в слове “ логик а” НЕ является гласной» ложно.
Работать со связкой НЕ достаточно сложно. В высказываниях на русском языке логическая связка НЕ ставится в середине высказывания, и не всегда бывает понятно, где именно её следует поставить. Например, в высказывании «Петя решил правильно все задания контрольной работы» для логической связки НЕ возможны такие места:
1) Петя НЕ решил правильно все задания контрольной работы.
2) Петя решил НЕправилъно все задания контрольной работы.
3) Петя решил правильно НЕ все задания контрольной работы.
Очевидно, второе из этих высказываний имеет совсем иной смысл, чем первое и третье.
По сути, с помощью логической связки НЕ мы строим отрицание исходного высказывания.
Отрицанием высказывания «У меня дома есть компьютер» будет высказывание «Неверно, что у меня дома есть компьютер» или, что в русском языке то же самое, «У меня дома нет компьютера ».
Отрицанием высказывания «Я не знаю китайский язык» будет высказывание «Неверно, что я не знаю китайский язык» или, что в русском языке то же самое, «Я знаю китайский язык».
Отрицанием высказывания «Все юноши 8-х классов — отличники» является высказывание «Неверно, что все юноши 8-х классов — отличники», другими словами, «Не все юноши 8-х классов — отличники».
Для того чтобы избежать двусмысленности при составлении высказываний со связкой НЕ, рекомендуется выбирать один из двух вариантов:
1) использовать речевой оборот «неверно, что» и всегда ставить его перед исходным высказыванием;
2) строить отрицание к сказуемому, добавляя к соответствующему глаголу частицу «не».
Сформулируйте отрицания высказываний «Последняя буква в слове “логика” является гласной», «Число 5 является чётным» с речевым оборотом «Неверно, что». Какой ещё вариант отрицания исходных высказываний вы можете предложить?
Составное высказывание со связкой И содержит два простых высказывания. Составное высказывание со связкой И истинно тогда и только тогда, когда истинны оба входящие в него простые высказывания.
Например, простые высказывания «Число 324 делится на 7», «Число 324 делится на 5» — оба ложны; простые высказывания «Число 324 делится на 3», «Число 324 делится на 2» — оба истинны. Рассмотрим образованные из них с помощью логической связки И составные высказывания:
1) «Число 324 делится на 7 И на 5» — ложное высказывание;
2) «Число 324 делится на 7 И на 3» — ложное высказывание;
3) «Число 324 делится на 7 И на 2» — ложное высказывание;
4) «Число 324 делится на 5 И на 3» — ложное высказывание;
5) «Число 324 делится на 5 И на 2» — ложное высказывание;
6) «Число 324 делится на 3 И на 2» — истинное высказывание.
Рассмотрите следующие высказывания: «Основоположником
алгебры логики является Джордж Буль», «Исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике», «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль, и исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике». Сделайте вывод об истинности третьего высказывания, предварительно выяснив с помощью Интернета истинность первых двух высказываний.
Составное высказывание со связкой ИЛИ содержит два простых высказывания. Составное высказывание со связкой ИЛИ ложно тогда и только тогда, когда ложны оба входящие в него простые высказывания.
Рассмотрим составные высказывания, образованные с помощью логической связки ИЛИ:
1) «Число 324 делится на 7 ИЛИ на 5» — ложное высказывание;
2) «Число 324 делится на 7 ИЛИ на 3» — истинное высказывание;
3) «Число 324 делится на 7 ИЛИ на 2» — истинное высказывание;
4) «Число 324 делится на 5 ИЛИ на 3» — истинное высказывание;
5) «Число 324 делится на 5 ИЛИ на 2» — истинное высказывание;
6) «Число 324 делится на 3 ИЛИ на 2» — истинное высказывание.
Рассмотрите следующие высказывания: «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу», «Лейбниц является основоположником бинарной арифметики», «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу, или Лейбниц является основоположником бинарной арифметики». Сделайте вывод об истинности третьего высказывания, предварительно выяснив с помощью Интернета истинность первых двух высказываний.
В обычной жизни связка ИЛИ зачастую трактуется в исключающем смысле. Вспомните, например, диагноз, который поставил лекарь Богомол Буратино: «Одно из двух: или пациент жив, или он умер». Что касается математической логики и программирования, то в них ИЛИ воспринимается в неисключающем смысле. Так, высказывание «Иван может перекусить бутербродом или яблоком» означает, что Иван может перекусить бутербродом или яблоком или и тем, и другим.
Составные высказывания можно строить не только из элементарных высказываний, но и из других составных высказываний.
Например: «В слове “вентиль” первая буква согласная И вторая — гласная, ИЛИ в слове “кулер” шесть букв» — истинное высказывание.
Содержимое спойлера