Урок №12. Математическое моделирование.
Основным языком информационного моделирования в науке является язык математики.
Информационные модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями.
Язык математики представляет собой совокупность множества формальных языков; с некоторыми из них (алгебраическим, геометрическим) вы познакомились в школе, другие сможете узнать при дальнейшем обучении.
Язык алгебры позволяет формализовать функциональные зависимости между величинами, записав соотношения между количественными характеристиками объекта моделирования. В школьном курсе физики рассматривается много функциональных зависимостей, которые представляют собой математические модели изучаемых явлений или процессов.
Пример 1Зависимость координаты тела от времени при прямолинейном равномерном движении имеет вид
Изменение координаты тела х при прямолинейном равноускоренном движении в любой момент времени t выражается формулой
С помощью языка алгебры логики строятся логические модели — формализуются (записываются в виде логических выражений) простые и составные высказывания, выраженные на естественном языке. Путём построения логических моделей удаётся решать логические задачи, создавать логические модели устройств и т. д.
Пример 2Рассмотрите электрические схемы (рис. 2.4). Па них изображены известные вам из курса физики последовательное и параллельное соединения переключателей. В первом случае, чтобы лампочка загорелась, должны быть включены оба переключателя. Во втором случае достаточно, чтобы был включён хотя бы один из переключателей.
Можно провести аналогию между элементами электрических схем и объектами и операциями алгебры логики.
Спроектируем электрическую цепь, показывающую итог тайного голосования комиссии в составе председателя и двух рядовых членов. При голосовании «за» каждый член комиссии нажимает кнопку. Предложение считается принятым, если члены комиссии проголосуют за него единогласно либо если свои голоса «за» отдадут председатель и один из рядовых членов комиссии. В этих случаях загорается лампочка.
Решение
Пусть голосу председателя соответствует переключатель А, голосам рядовых членов — переключатели В и С. Тогда
Упростим полученное логическое выражение:
Мы получили логическую модель, позволяющую построить схему проектируемой электрической цепи (рис. 2.5).
Многие процессы, происходящие в окружающем нас мире, описываются очень сложными математическими соотношениями (уравнениями, неравенствами, системами уравнений и неравенств). До появления компьютеров, обладающих высокой скоростью вычислений, у человека не было возможности проводить соответствующие вычисления, на счёт вручную уходило очень много времени.
В настоящее время многие сложные математические модели могут быть реализованы на компьютере. При этом используются такие средства, как:
- системы программирования;
- электронные таблицы;
- специализированные математические пакеты и программные средства для моделирования.
Математические модели, реализованные с помощью систем программирования, электронных таблиц, специализированных математических пакетов и программных средств для моделирования, называются компьютерными математическими моделями.
Различают аналитические, графические и имитационные компьютерные математические модели (рис. 2.6).
Аналитические модели представляют собой уравнения или системы уравнений, решение которых происходит в результате осуществления определённых последовательностей вычислительных действий. Соответствующие расчёты бывают достаточно трудоёмкими; для их выполнения требуются мощные вычислительные системы. Такие модели используют для решения многих научных и производственных задач: при составлении прогнозов погоды и предсказании глобальных климатических изменений, при разработке авиационных двигателей и новых конструкций автомобилей, в сейсморазведке, нефте- и газодобыче, для решения экологических задач и т. д.
Всем известно о разрушительной силе ядерного оружия. В настоящее время ядерные державы для совершенствования своего ядерного арсенала, как правило, используют мощнейшие суперкомпьютеры, на которых проводят расчёты, в полном объёме моделирующие ядерные взрывы и их последствия.
Существуют такие объекты, для которых в силу ряда причин аналитические модели (уравнения, неравенства) не разработаны либо их разработка невозможна. К ним относятся сложные системы, элементы которых могут вести себя случайным образом. Примерами таких систем являются многочисленные системы массового обслуживания: билетные кассы, торговые предприятия, ремонтные мастерские, служба скорой помощи, транспортные потоки на городских дорогах и многие другие системы. Многим знакома ситуация, когда, придя в кассу, магазин, парикмахерскую, мы застаём там очередь. Приходится либо вставать в очередь и какое-то время ждать, либо уходить, т. е. покидать систему необслуженным. Возможны случаи, когда заявок на обслуживание в системе мало или совсем нет; в этом случае она работает с недогрузкой или простаивает. В системах массового обслуживания количество заявок на обслуживание, время ожидания и точное время выполнения заявки заранее предсказать нельзя — это случайные величины, но с помощью имитационных моделей можно смоделировать состояние таких систем при разных значениях этих величин.
Имитационные модели воспроизводят поведение сложных систем, элементы которых могут вести себя случайным образом.
Имитационное моделирование представляет собой многократный «прогон» модели с наборами случайных исходных данных, генерируемых компьютером. Те исходные данные, при которых получены самые удачные экспериментальные результаты, могут быть использованы для улучшения реального объекта. Такие наборы данных можно получить и при достаточно продолжительных наблюдениях за функционированием реальной системы, но при компьютерном моделировании это получается значительно быстрее и дешевле.
С помощью средств компьютерной графики можно визуализировать результаты расчётов, получаемых в процессе работы с компьютерными моделями. Получаемые графические модели позволяют «увидеть» недоступные в условиях физического эксперимента места исследуемого объекта. Например, результаты визуализированного компьютерного краш-теста автомобиля могут наглядно показать не только степень разрушения его частей, но и возможное воздействие моделируемой аварии на разные части тела и органы водителя.