Урок №3. Двоичная система счисления. Арифметические операции в двоичной системе счисления.
Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2.
Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.
Для работы с двоичными числами надо знать «веса» двоичных разрядов (табл. 1.3).
Любое двоичное число можно записать в развёрнутой форме. Запишем, например, в развёрнутой форме двоичное число 100112:
100112 = 1 • 24 + 0 • 23 + 0 • 22 + 1 • 21 + 1 • 2°.
Эту запись можно сделать проще, если не включать в сумму слагаемые с нулевыми сомножителями и не писать сомножители, равные 1. Другими словами, достаточно включать в развёрнутую запись только степени двойки, соответствующие единичным коэффициентам:
100112 = 24+ 21 + 2°.
Такая форма записи «подсказывает» правило перевода целых двоичных чисел в десятичную систему счисления: необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа:
100112 = 24+21+2° = 16 + 2 + 1 = 1910
Переводить небольшие целые числа (например, от 0 до 1024) в двоичную систему счисления можно с помощью таблицы степеней числа 2. Рассмотрим этот способ на примере числа 684.
Наша задача — представить число 684 в виде суммы степеней числа 2. Начнём с наибольшей степени числа 2, не превышающей исходное число. Очевидно, это 512. Запишем:
684 = 512 + 172.
Подберём для числа 172 наибольшую степень числа 2, не превышающую число 172. Очевидно, это 128. Запишем:
684 = 512 + 128 + 44.
Продолжив аналогичные рассуждения, получим: 684 = 512 + 128 + 32 + 8 + 4.
Воспользуемся уже знакомой вам таблицей степеней двойки и добавим в неё строку, в которую впишем 1, если соответствующее значение степени вошло в записанную выше сумму, и 0 — в противном случае.
Выпишем все полученные нули и единицы слева направо — это и будет двоичная запись числа 648:
А2 = 010101011002, или 10101011002.
Нули, стоящие левее первой единицы, являются незначащими, их можно удалять из записи двоичного числа.
Рассмотрим ещё один способ перевода целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную, основанный на операции деления с остатком.
На основании формулы (1) для неотрицательных целых двоичных чисел можно записать:
an-1an-2…a1a0=an-1 • 2n-1 + an-2 • 2n-2 + … + a0 • 20 (1)
Разделим an-1 • 2n-1 + an-2 • 2n-2 + … + a0 • 20 на 2. Неполное частное будет равно an-1 • 2n-1 + an-2 • 2n-2 + … + a1 а остаток будет равен а0.
Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен ах.
Если продолжить этот процесс деления, то на п-м шаге получим набор цифр:
а0, а1, a2, … , an-1
которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2. Но эти цифры в исходном числе были записаны справа налево. Мы получили правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления.
Для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на 2 до тех пор, пока не получим неполное частное, равное нулю. Представление исходного числа в двоичной системе счисления образуется путём последовательной записи полученных остатков, начиная с последнего.
Переведём по этому правилу в двоичную систему счисления десятичное число 11:
Выписав все остатки, начиная с последнего, получим двоичную запись исходного десятичного числа:
1110 = 10112.
Записывать рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно и «уголком»:
Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим тот же результат: 1110= 10112
Рассмотрим ещё один, более компактный способ записи перевода чисел из десятичной системы в двоичную. Его можно использовать при переводе больших (например, трёхзначных) чисел:
Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения:
Таблица двоичного сложения предельно проста. 1 + 1 = 10, поэтому 0 остаётся в младшем разряде, а 1 переносится в старший разряд.
Пример 1
Рассмотрим примеры сложения чисел в двоичной системе счисления.
10012 + 10102 = 100112; 11112 + 12 = 100002.
Операция умножения двоичных чисел выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Пример 2
Выполним умножение двоичных чисел 10112и 1012:
10112 • 1012= 1101112.
Таким образом, в двоичной системе счисления умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.
Вычитание, как и сложение, выполняется «столбиком». Очевидно, что:
0-0 = 0,
1-0=1,
1-1 = 0.
Но что получится, если необходимо вычесть из нуля единицу?
В аналогичной ситуации в десятичной системе счисления мы занимаем единицу в старшем разряде. Так же надо поступать и в двоичной системе счисления. При этом надо помнить, что в двоичной системе счисления единица старшего разряда образуется из двух единиц соседнего с нею младшего разряда.
Таблица вычитания в двоичной системе счисления будет иметь вид
Пример 3
Выполним вычитание двоичных чисел 101012 и 10102:
101012 — 10102 = 10112.
Деление двоичных чисел сводится к операциям сравнения и вычитания и оформляется «уголком».
Пример 4
Разделим число 1101102 на 1102:
1101102 : 1102 = 10012
Правильность выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления вы всегда можете проверить, переведя в десятичную систему двоичные операнды и полученный результат.
 | Как известно, компьютеры работают с информацией, представленной в двоичном коде. Исходя из этого, естественно было бы предположить, что именно конструкторы электронных вычислительных машин придумали и двоичную систему счисления. Но это не так. Двоичная система счисления с 0 и 1 была описана выдающимся немецким философом и математиком Готфридом Лейбницем (1646-1716) и несколько веков не представляла никакой практической ценности. Сегодня она является основой нашего цифрового окружения. |
Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.
Для работы с двоичными числами надо знать «веса» двоичных разрядов — степени числа 2:
Для перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления достаточно вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.
Для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Представление исходного числа в двоичной системе счисления образуется путём последовательной записи полученных остатков, начиная с последнего.
Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.
Содержимое спойлера